Espacios Fuertemente Conexos

Abstract

Cuando se habla sobre el concepto de conexidad, a menudo nos encontramos con el criterio de que un espacio es conexo si y sólo si cualquier función continua de él al espacio discreto {0,1{ es constante. Será interesante ver que pasa cuando remplazamos el espacio discreto de dos puntos por algún otro espacio. En este sentido, de cimos un espacio X es Z-conexo si cualquier función continua de X a Z es constante, donde Z es un espacio T y no degenerado, este concepto fue de nido en [1], en el cual se da un estudio detallado de la Z-conexidad y la conexidad fuerte. En este proyecto de tesis estudiamos las propiedades que se derivan de este nuevo concepto, las cuales tienen mucha similitud con las correspondientes para el concepto habitual de conexidad. Este trabajo está constituido por tres capítulos; en el primer capítulo se presentan algunos conceptos, resultados y simbología que se utilizarán a lo largo del trabajo. También se ofrece un breve repaso de conexidad. En el segundo capítulo se introduce el concepto de Z-conexo, también se muestran dos equivalencias entre la Z-conexidad y la conexidad. Se presenta un estudio de las diferentes propiedades de la Z-conexidad, por ejemplo, la imagen continua de un Z-conexo es Z-conexo, el producto topológico de Z-conexos es Z-conexo, entre otras. Finalmente se presentan propiedades sobre Z-conexidad local, como por ejemplo, en la familia de los espacios localmente Z-conexos, se tiene que la Z-conexidad y la conexidad son equivalentes. En la primer parte del Capítulo 3, se presenta el concepto de espacio fuertemente conexo. Aquí, la de finición de espacios fuertemente conexos se compara con la conexidad. Además se prueban propiedades importantes de los espacios fuertemente conexos. Probaremos que en la familia de los espacios compactos y de Hausdorff la conexidad fuerte y la conexidad son equivalentes. También mostraremos que si un espacio es localmente compacto, localmente conexo, conexo y de Hausdorff, entonces este es fuertemente conexo. Por último probaremos que un espacio métrico completo, conexo y localmente conexo es fuertemente conexo.