UNA INTRODUCCIÓN AL VALOR EN RIESGO: TEORÍA Y APLICACIONES

Abstract

El primer capítulo de la presente tesina incluirá conceptos y definiciones de Álgebra Lineal. Las variables aleatorias frecuentemente se definen como polinomios lineales de vectores aleatorios, en este sentido, es relevante mencionar conceptos tales como las características de vectores y las operaciones de matrices. Para llegar a una simplificación del portafolio, se utilizan modelos matemáticos por lo cual, se hará mención del concepto de gradientes, los cuales aproximan funciones utilizando polinomios. También en este capítulo se presentará el método de mínimos cuadrados cuyo objetivo es ajustar una función a un conjunto de datos y obtener el valor de parámetros. Para abordar procedimientos tales como la transformación cuadrática y el modelo Monte Carlo para la estimación del VaR, se menciona el concepto de factorización de la matriz de Cholesky. En el segundo capítulo se describirá la teoría de probabilidad que se aplica al utilizar los modelos de estimación del VaR, además se presentarán definiciones que servirán de soporte para abordar temas de estadística y series de tiempo. En este sentido, se incluyen las definiciones de variable aleatoria, funciones de densidad de probabilidad y funciones de distribución acumulada. También se describen los momentos empíricos y medidas de dispersión. Asimismo, se mencionan las funciones de probabilidad y de distribución de un vector aleatorio, así como la definición de correlación. Además, se describe uno de los conceptos centrales en la teoría de probabilidad, la cual es la independencia entre variables. En este capítulo se detallan algunas de las principales distribuciones de probabilidad utilizadas en el análisis de las series financieras y se describen teoremas importantes de la teoría de probabilidad. En el tercer capítulo se describen conceptos de estadística y series de tiempo, los cuales soportan los procedimientos de inferencia para la estimación del VaR. En primer lugar, se hace mención de las propiedades que comúnmente presentan las series financieras y de las pruebas que se llevan a cabo para poder trabajar con las series de tiempo. También se presentan los modelos estándar de series de tiempo y se describen los procesos ARCH, GARCH y EWMA que modelan la volatilidad cambiante en el tiempo. Una vez descritos las definiciones de Álgebra Lineal, Probabilidad, Estadística y Series de Tiempo se tendrán las herramientas para el entendimiento de los modelos para estimar el VaR. En este sentido, en el cuarto capítulo de la presente tesina, se presenta la definición de VaR, los distintos modelos VaR y se hace mención de los métodos de 11 validación del VaR. Para complementar el entendimiento de los modelos se describirán algunos ejemplos de estos modelos aplicados a series financieras con datos históricos. Debido a que toda la teoría descrita en los próximos capítulos puede ser encontrada en diversos libros y monografías, no se incluyen todas las pruebas para los resultados expuestos en este trabajo pues el desarrollo de cada uno de estos sale del alcance de la presente tesina. Dentro del presente texto se hará uso de la siguiente notación: v.a. variable aleatoria i.i.d. independiente e idénticamente distribuidas f.d. Función de distribución f.p.d. Función de densidad de probabilidad