Solubilidad de ecuaciones ciclotómicas

Abstract

La teoría de Galois es usada en la búsqueda de soluciones de las ecuaciones polinómicas, por lo que han tenido gran importancia en las matemáticas. En particular los polinomios ciclotómicos son de particular importancia porque para cualquier entero positivo n, los factores irreducibles de x^n -1 sobre los racionales (y enteros) son polinomios ciclotómicos. En el trabajo se da un resumen de las teoremas importantes y definiciones que se usan en el desarrollo de la Teoría de Galois. Se introducen las definiciones de estructuras algebraicas como Grupos, Anillos, Campos y construcciones en estos como Torres y Extensiones de Campos.

Como es sabido durante un gran tiempo la única fórmula conocida fue para polinomios de grado dos, hasta el método de Cardano y Ferrari con el cual se resuelve analíticamente cualquier ecuación cúbica y cuártica. Durante los posteriores años no se logró encontrar una fórmula para polinomios de grado igual o mayor a cinco, hasta Ruffini y Abel los cuales demostraron que dicha fórmula no existe para polinomios de grado cinco. Por su parte Galois con el estudio de Extensiones de Campos (lo que conocemos como teoría de Galois) consigue explicar cuando un polinomio es soluble por radicales y cuando no, concretamente con el gran Teorema de Galois, además de establecer relaciones entre estas extensiones y la solubilidad por radicales de un polinomio.