Caracterización de la curva cerrada simple en términos del hiperespacio de no estorbadores

Abstract

Un continuo es un espacio métrico, compacto, conexo y no vacío. La Teoría de Hiperespacios es una rama importante de la topología, tuvo sus inicios a principios del Siglo XX y desde entonces la investigación en esta área ha experimentado un interés creciente. La teoríaa de hiperespacios se encarga de estudiar familias particulares de subconjuntos de los espacios topológicos. Esta teoría ha mostrado ser muy útil para determinar el comportamiento topológico de los espacios originales con respecto a las propiedades que presentan los hiperespacios y viceversa, este estudio se ve reflejado en la amplia bibliografía que existe al respecto. Algunos de los hiperespacios más conocidos para un espacio métrico X son: 2X el hiperespacio de subconjuntos cerrados no vacíos de X, C(X) el hiperespacio de subcontinuos de X. Fn(X) el n-ésimo producto simétrico, Cn(X) el hiperespacio de elmentos de X con a lo más n componentes. En las últimas décadas del Siglo XX hubo avances signifi cativo en el estudio del n-ésimo producto simétrico y el n-ésimo hiperespacio Cn(X).

Un nuevo hiperespacio ha atraído la atención de los especialistas, a este se le llama hiperespacio de no estorbadores de los singulares de un continuo. Este tipo de hiperespacios tienen un comportamiento distinto al del resto, porque no siempre es conexo, no siempre es compacto, pero aún así se ha buscado, a través de él caracterizar a los continuos. Una pregunta natural que surgió apartir de que la circunferencia S1 satisface que su hiperespacio de no estorbadores de los singulares es exactamente F1(S) es la siguiente: existe un continuo distinto a S1 cuyo hiperespacio de no estorbadores es exactamente a F1(X). Una respuesta parcial se tiene para los continuos localmente conexos. Posteriormente se amplia la clase de continuos donde la respuesta también es a firmativa. Finalmente, se demuestró que el único continuo cuyo hiperespacio de no estorbadores de sus singulares que coincide con F1(X) es exactamente la curva cerrada simple. La meta principal de este trabajo es proporcionar una introducción a los no estorbadores y dar una caracterización de la curva cerrada simple en términos de su hiperespacio de no estorbadores X