Elementos de la Cohomología de De Rham desde la teoría de fibrados

Abstract

La teoría de la cohomología de De Rham y los fibrados vectoriales son dos conceptos fundamentales en Geometría Diferencial y Topología Algebraica. La relación entre estos dos conceptos se basa en el hecho de que los fibrados vectoriales proporcionan una manera natural de definir formas diferenciales en variedades, y son justo las formas diferenciales los tabiques con los que se construye la cohomología de De Rham. El propósito de este texto es desarrollar la teoría de fibrados vectoriales sobre variedades diferenciables para poder definir a partir de ellos conceptos como los campos vectoriales y los campos tensoriales. En el primer capítulo, se definen lo que son las variedades diferenciables y sus espacios tangentes. En el segundo capítulo, se define el fibrado tangente, y se toma como motivación para introducir los fibrados vectoriales y los sistemas coordenados móviles. En el tercer capítulo, se abordan los tensores con sus operaciones y las formas diferenciales, además de la derivada exterior. Finalmente, en el cuarto capítulo, se introducen los conceptos básicos del Álgebra Homológica y Teoría de Categorías, y con ayuda de ellos se estudia la cohomología de De Rham.