Una generalización del teorema de la función implícita

Abstract

En el vasto terreno de las matemáticas, el Teorema de la Función Implícita se erige como una joya conceptual que ha fascinado a los matemáticos desde su formulación inicial. Este teorema, fundamental en el análisis matemático, despliega su poderosa influencia en diversas ramas, proporcionando herramientas esenciales para comprender fenómenos complejos y abriendo puertas a la resolución de problemas aparentemente intrincados. El Teorema de la Función Implícita aborda situaciones en las cuales las ecuaciones definen implícitamente una función. Esta clase de problemas surge de manera natural en contextos tan diversos como la física, la economía y la ingeniería, donde la relación entre variables puede no expresarse de manera explícita. La capacidad de entender y manipular estas situaciones se vuelve crucial para modelar fenómenos del mundo real. De manera más formal, si consideramos por ejemplo una función f de R2 a R continuamente diferenciable, y dada la condición f(x, y) = 0 podemos determinar una función para lo cual la variable y se puede definir en términos de la variable x en una vecindad alrededor de un punto (a, b) en el cual f(a,b) = 0 y la derivada parcial en la segunda variable evaluada en el punto antes descrito es diferente de cero y en donde la función definida resulta ser también diferenciable. Del mismo modo, podemos hacer depender a la variable x de la variable y con las condiciones análogas determinadas para y. Lo anterior es un caso particular de un resultado general, en donde podemos tomar cualquier función f de Rn+m a Rm continuamente diferenciable que cumpla con los criterios establecidos en el teorema. La demostración de este teorema se basa fuertemente en el hecho de que las transformaciones lineales continuamente diferenciables en la mayoría de los casos se comportan localmente como sus derivadas. Este teorema tiene su generalización en espacios de Banach en donde la completez de los espacios vectoriales normados en donde están definidas las funciones nos dan condiciones para aplicar una versión análoga a la que se tiene en los espacios euclidianos.

Otro de los teoremas importantes dentro del análisis matemático es el Teorema de la Función Inversa, el cual se considera equivalente al Teorema de la Función Implícita. Como corolario se tiene el Teorema de los Multiplicadores de Lagrange en el caso de dimensión finita el cual es muy usado dentro de las aplicaciones del cálculo. Hasta antes del siglo XIX las funciones implícitas principalmente eran usadas para determinar el comportamiento de la solución de una ecuación y no se había visto en la necesidad de probar la existencia de estas. Se sabe que Isaac Newton fue uno de los primeros en analizar y determinar el comportamiento de una función definida implícitamente. Posteriormente en 1770 J. Lagrange probó un resultado conocido hoy en día como el Teorema de Inversión de Lagrange, lo que para muchos es una primer versión del Teorema de la Función Implícita, y que en estos tiempos se considera un caso particular de este para series de potencia. Posteriormente Cauchy en su empeño por formalizar la matemática y tomando en cuenta los resultados de Lagrange, escribió en sus memorias de Turín lo que se considera como la primer versión rigurosa del Teorema de la Función Implícita. Este trabajo pretende desarrollar el Teorema de la Función Implícita tanto en espacios euclidianos como en espacios de Banach.