Calculo del clique-width en graficas simples de acuerdo a su estructura

Abstract

El cálculo del cliquewidth, un número entero que es un invariante para gráficas, ha sido estudiado de manera activa, ya que existen problemas catalogados como NP-Completos que tienen complejidad baja si su representación en gráficas tiene cliquewidth acotado. De cierta manera este parametro mide la dificultad de descomponer una gráfica en una estructura llamada árbol (por su topología). La importancia de este invariante radica en que si un problema de gráficas puede ser acotado por ella entonces puede ser resuelto en tiempo polinomial según el teorema principal de Courcelle. Por otra parte el cliquewidth tiene una relación directa con el invariante tree-width con la distinción de que el primero es más general que el segundo. Para calcular este tipo de invariantes se han propuesto en la literatura diferentes procedimientos que dividen la gráfica original en subgráficas las cuales determinan la complejidad, por lo que en la investigación aquí reportada se ha utilizado una descomposición particular de una gráfica simple, la cual consiste en descomponer la gráfica en ciclos simples y árboles. Las gráficas que consisten de ciclos simples y árboles se denominan cactus, sobre las cuales hemos demostrado que el clique-width es menor o igual a 4 lo que mejora la cota establecida por la relación entre el clique-width y el invariante treewidth la cual establece que el cwd(G) ≤ 3·2twd(G)−1. De igual manera se han estudiado otro tipo de gráficas denominadas poligonales, formadas por polígonos con mismo número de lados los cuales comparten entre si una única arista; sobre este tipo de gráficas en esta investigación se ha demostrado que el cliquewidth es igual a 5, de igual manera mejorando la cota conocida por la relación de las invariantes mencionadas anteriormente. Finalmente, estudiando el comportamiento de operaciones de union de estas subgráficas se ha propuesto un método de aproximación para el cálculo del cliquewidth de una gráfica simple de manera general. El algoritmo esta basado en el clásico algoritmo de Disjktra que encuentra el camino mas corto entre dos vértices de una gráfica. Del planteamiento de los algoritmos mencionados anteriormente se obtuvo la publicación de tres artículos, en los que se incluye el desarrollo de las demostraciones para el cálculo del clique-width en los diferentes escenarios de estudio.