Resumen:
Se considera una ecuación diferencial parcial cuasilineal, elíptica con singularidad y exponente crítico, donde hay un abierto, suave y acotado de R en n dimensiones con un operador p-laplaciano con su exponente crítico de Sobolev. El problema se estudiará mediante el método variacional, el cual consiste en transformar el problema de resolver una ecuación diferencial parcial en un problema de hallar puntos críticos de cierta función obtenida al usar dicho método, el método variacional hace intervenir a los espacios de Sobolev los cuales son comúnmente usados en este tipo de problemas , los espacios de Sobolev usado en dichos problemas son espacios de Hilbert, los cuales son espacios lineales, completos y con producto interior. En la presente tesis se estudia el problema en espacios de Sobolev que resultan ser espacios Banach los cuales son completos y no tienen producto interno. Estableceremos resultados de multiplicidad de soluciones simétricas positivas y soluciones que cambian de signo (nodales), para ello se aplicará la teoría de Lusternik-Schnirelmann por medio de la cual se establecerá una relación entre la topología del dominio y la multiplicidad de soluciones.
Descripción:
Las aportaciones más relevantes del proyecto de investigación pueden ser resumidas en las siguientes conclusiones. 1. El problema de investigación tiene soluciones positivas simétricas y soluciones que cambian de signo (nodales). 2. El método variacional resulta ser eficiente al resolver ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden. 3. El número de soluciones débiles del problema de investigación depende de la topología del dominio. 4. El análisis funcional es una herramienta de suma importancia pues se analiza el funcional asociado al problema con resultados propios de ésta área de las matemáticas. 5. La categoría Lusternik-Schnirelmann es un invariante topológico con el cual fue posible establecer la relación entre el número de soluciones y la topología del dominio. 6. La teoría de grupos fue un factor fundamental en los resultados de soluciones simétricas y nodales.
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