Sobre Grupos de Homotopía de Productos Simétricos de un Continuo

Abstract

El n-ésimo producto simétrico de un continuo X, es el espacio Fn(X) de los subconjuntos no vacíos de X de cardinalidad a lo más n, dotado con la topología de Vietoris. En este trabajo se describe la clasificación de los n-ésimos productos simétricos de gráficas finitas por medio de homotopía, teniendo como modelos universales los n-ésimos productos simétricos de la cuña de n-círculos. Introducimos un CW-complejo al que llamamos toro binomial que es homeomorfo a un espacio que es un retracto de deformación fuerte del segundo producto simétrico de la cuña de n-círculos. Aplicando lo anterior calculamos el grupo fundamental, característica de Euler, grupos de homología y cohomología del segundo producto simétrico de gráficas finitas. También consideramos el (n,m)-ésimo producto simétrico suspensión SFnm (X) que está definido por el cociente entre Fn(X) y Fm(X), para m, n números naturales con m < n. Mostramos que SFnm(-) es un funtor homotópico. Por lo tanto, obtenemos una clasificación por homotopía. En particular, estudiamos el tipo de homotopía de SF21 (X) y, en general, calculamos la característica de Euler de SFnm(X), cuando X es un gráfica finita.