El espacio de funciones continuas entre espacios topológicos admisibles

Abstract

La topología general se ocupa del estudio de los espacios topológicos, las funciones continuas, y un tipo especial de estas, los homeomorfismos o equivalencias topológicas. Estos homeomorfismos determinan una clasificación de los espacios topológicos en la cual, si dos espacios están en la misma clase, entonces poseen las mismas propiedades topológicas, es decir, las mismas propiedades que tienen relevancia en la topología general. Para un espacio topológico X, una familia de cubiertas abiertas O de X tal que para cada par de cubiertas existe una tercera que refina doble a ambas y que para cada punto x de X, la familia de estrellas en x con respecto a cada cubierta de la familia es una base local de x en X, es llamada admisible. En caso de que exista O al par (X, O) es un espacio admisible. La estructura admisible de un espacio provee de herramientas importantes para generar un método interesante de estudio de en ausencia de la metrización, la noción de distancia entre dos puntos es pequeña usada para espacios métricos se sustituye por la idea de cercanía entre dos puntos si pertenecen a un mismo abierto en una cubierta. Por otro lado, se ha estudiado el espacio de funciones continuas C(X, Y ) entre espacios metrizables compactos dotado con la métrica uniforme con el fin de determinar la relación existente entre las propiedades topológicas de los espacios base y dicho espacio de funciones. Una de las líneas de investigación en el estudio de espacio de funciones continuas es determinar las distintas propiedades topológicas de subespacios distinguidos de C(X, Y ). Otro de los conceptos para describir propiedades de un espacio topológico es la homogeneidad. Un espacio topológico X es homogéneo si para cualesquiera puntos x,y ∈ X, existe un homeomorfismo h : X → Y tal que h(x) = y. De manera intuitiva, podemos decir que un espacio homogéneo se ve igual en cada uno de sus puntos. Desde su aparición, la homogeneidad ha atraído la atención de los especialistas y a través del tiempo se han conseguido dar solución a problemas que son históricos por su importancia. Por esta razón, se han buscado criterios para determinar la homogeneidad en ciertas clases de espacios topológicos, como lo son espacios metrizables compactos. Es de nuestro interés determinar qué resultados espacios métricos compactos homogéneos, se puede generalizar debilitando esta condición a espacios admisibles.